Wie in einem der letzten Beiträge dieser Kategorie angekündigt, möchte ich hier auf der Website meine Implementierung der Berechnung der Yield to maturity vorstellen. Andere Begriffe für Yield to maturity sind auch arithmetische Rendite oder Effektivzins. Sämtliche Begriffe sind durchaus gebräuchlich und werden verwendet, um ein und diesselbe Sache zu beschreiben. Und so werden auch in diesem Beitrag diese Begriffe synonym verwendet.
Einige Prämissen gleich vorweg: Wir betrachten hier in diesem Beitrag nur den einfachsten Fall der Effektivzinsberechnung und beschränken uns auf die Diskussion eines festverzinslichen Wertpapieres mit jährlicher Zinszahlung ohne eingebettete Derivate mit einem Rückzahlungskurs von 100%. Aus Gründen der Vereinfachung liegen die erwarteten Cash Flows bereits vor. In der Praxis würde man diese wahrscheinlich erst zur Laufzeit generieren. Auch beschränken wir uns auf die am deutschen Kapitalmarkt mittlerweile eher unübliche 30/360 Zinsmethode. Die Erweiterung für die diversen Tageskonventionen überlasse ich dem geneigten Leser, dem ich mit dem hier vorgestellten Skript schon genug Basisarbeit abgenommen habe. ;-)

Das fundamentale Prinzip jeglicher Bewertung ist, daß der Wert einer Kapitalanlage dem Present Value (oder Barwert) der erwarteten Zahlungsströme entspricht. Dabei spielt es keinerlei Rolle, welcher Art diese Kapitalanlage ist. Von daher setzt sich jeder Valuierungsprozeß aus folgenden 3 Schritten zusammen:

1. Bestimmung der (erwarteten) Cash Flows.
2. Festlegung eines angemessenenen Diskontsatzes (bzw. angemessener Diskontsätze).
3. Berechnung des Present Values der Zahlungsströme aus 1. anhand der Werte aus 2.

So, zunächst einmal hört sich das nicht weiter schwer an. Ist es eigentlich auch nicht. Aber man muß sich verdeutlichen, daß dies ein iterativer Prozeß ist, der nur bedingt mit dem mengenbasierten Ansatz relationaler Datenbanken zu vereinbaren ist. Man berechnet die Rendite jedes einzelnen Wertpapieres indem man solange eine Schleife durchläuft, bis das Ergebnis hinreichend genau ist. Jawohl, hinreichend genau. Das Ganze ist ein Trial-and-Error Prinzip.

Genug der Worte. Ein Beispiel: Gegeben sei ein Wertpapier mit einem jährlichen Zinskupon von 5,00% und einer Endfälligkeit in genau 4 Jahren. Der Preis für das Papier beträgt 95,92. Frage: Welche Yield-to-maturity hat dieses Papier? Antwort: ca.6,1824% Lösung: Gemäß unserem obigen Schema, benötigen wir zuerst die Cash Flows.

CREATE TABLE Cash_Flows 
( 
 cashflow DECIMAL(8,2), 
 valuta DATETIME 
) 
INSERT INTO Cash_Flows VALUES (-95.92,'20060115') 
INSERT INTO Cash_Flows VALUES (5,'20070115') 
INSERT INTO Cash_Flows VALUES (5,'20080115') 
INSERT INTO Cash_Flows VALUES (5,'20090115') 
INSERT INTO Cash_Flows VALUES (105,'20100115')

So, am Anfang steht ein negativer Cash Flow (d.h. eine Auslage), da wir diesen Preis bezahlen müssen, um das Papier zu erwerben. Danach erhalten wir 4 Jahre lang einmal pro Jahr die Kuponzahlung iHv 5 und zusätzlich im letzten Jahr den Nominalbetrag (= 5 + 100 = 105). Den eigentlichen Code wird man zweckmäßigerweise in eine UDF packen. Diese könnte folgendermaßen aussehen:

CREATE FUNCTION yield_to_maturity(@issue_date SMALLDATETIME)
RETURNS DECIMAL(15,14) 
AS 
BEGIN 
 DECLARE @ytm_tmp FLOAT
 DECLARE @ytm FLOAT
 DECLARE @pv_tmp FLOAT
 DECLARE @pv FLOAT

 SET @ytm_tmp = 0
 SET @ytm = 0.1
 SELECT @pv_tmp = SUM(cashflow) FROM Cash_Flows
 SET @pv = 
 (SELECT SUM(cashflow/POWER(1.0+@ytm,(DATEDIFF(month,@issue_date, valuta)* 30 + DAY(valuta)-DAY(@issue_date) 
  - 
  CASE 
   WHEN(@issue_date)>=30 AND DAY(valuta) = 31 
   THEN 1 
   ELSE 0 
  END)/  360.0 ))
    FROM Cash_Flows)

 WHILE ABS(@pv) >= 0.000001
 BEGIN
  DECLARE @t FLOAT
  SET @t = @ytm_tmp
  SET @ytm_tmp = @ytm
  SET @ytm = @ytm + (@t-@ytm)*@pv/(@pv-@pv_tmp)
  SET @pv_tmp = @pv
  SET @pv =
  (SELECT SUM(cashflow/POWER(1.0+@ytm,(DATEDIFF(month,@issue_date, valuta) * 30 + DAY(valuta)-DAY(@issue_date) 
   -
   CASE
    WHEN(@issue_date)>=30 AND DAY(valuta) = 31 
    THEN 1 
    ELSE 0 
   END) /360.0))
     FROM Cash_Flows)
 END
 RETURN @ytm 
END
GO

Da das Ganze ein Näherungsverfahren ist, hat man einen gewissen Spielraum bei der Wahl der oberen Grenze bei der Initialisierung der Variablen. 0,1 (=10%) ist idR ein guter Startwert. Danach läuft man solange durch die WHILE Schleife, bis die Abbruchbedingung erfüllt ist. Und hier erkennt man dann auch sehr schön den iterativen Ansatz dieses Verfahrens, für das dann andere Programmiersprachen wie C++ oder VB wesentlich besser geeignet sind. Aufgerufen wird die UDF dann mit

SELECT dbo.yield_to_maturity('20060115')
                  
----------------- 
.06182374295818

Rechnet man unser Beispiel mit einer spezialisierten Software nach wird man unter Umständen ab irgendwelchen Nachkommastellen Abweichungen bemerken. In der Regel betrifft dies die 6.te bis 8.te Nachkommastelle. Aber die fallen dann auch nicht mehr wirklich dramatisch ins Gewicht. Differenzen ab der 6.ten Nachkommastelle ignoriere ich einfach. Obwohl ich nicht wirklich weiß, woran dies liegt. Ich schiebe dies dann gerne auf die Implementierung des FLOAT Datentypen in SQL Server.

< rant mode on >
So, zum Schluß ein Wort in eigener Sache: Direkt in den Tagen nachdem ich in diesem Beitrag angekündigt hatte, eine T-SQL basierte Yield-to-maturity Formel zu veröffentlichen, habe ich gleich mehrere Mails von Leuten erhalten, die entweder genau wissen wollten, wann es denn soweit sei oder ob diese oder jene Besonderheit eingebaut sei und ob ich auch beabsichtige, noch weitere Renditemaße zu veröffentlichen. Ich habe zwar geahnt, daß diese Formel für viele vielleicht interessant sein könnte, war aber vollkommen von der teilweisen Dreistigkeit dieser Mails überrascht.
Ich möchte deshalb an dieser Stelle eines ganz klar stellen:

• Ich habe lange gezögert, ob ich nun diesen Beitrag veröffentlichen soll oder nicht, aber nun mache ich meine damals publizierte Ankündigung wahr. Nicht mehr, aber auch nicht weniger. Versprochen ist versprochen ... usw...
• Ich habe meinen Originalalgorithmus aber nach diesen Mails absichtlich noch weiter verschlankt, damit diejenigen Leute, die es offensichtlich selber nicht fertigbringen, diese Formel abzubilden, wenigstens noch einiges an eigenem Gehirnschmalz investieren müssen, um die Funktion tatsächlich praxistauglich zu machen.
• Ich werde keine weiteren Renditemaße veröffentlichen (was ich bis zu diesen Mails tatsächlich vorhatte).

Ich sehe nicht ein, daß ich hier über das hinaus, was ich eh schon mache, kostenlos Wissen vermittle, womit andere Leute potentiell eine Menge Geld verdienen können. Ich habe kein Problem damit, hier Algorithmen zu veröffentlichen, die Anderen Zeit, Nerven und Geld sparen. Ganz im Gegenteil! Aber diese Mails gaben mir das Gefühl, nur ein Ideenlieferant zu sein, den man ausnutzen kann. Aus diesem Grund schiebe ich dem einen Riegel vor, und behalte mein Wissen in diesem Bereich ab sofort für mich.

Sorry, aber mal wieder haben einige schwarze Schafe der Gesamtheit die Suppe versalzen!
< rant mode off >